بحث عن خصائص الأعداد الحقيقية كامل

بحث عن خصائص الأعداد الحقيقية كامل، تعتبر مادة الرياضيات من المواد الأساسية الذي قد يتم تدريسها الى العديد من المراحل التدريسية المختلفة، كما وأنه قد تحتوي المادة على العديد من العنواين التي قد تهتم بدراستها، فهي من المواد المليئة بالعديد من القوانين والنظريات المختلفة والمتنوعة، كما وأنها تعتبر من المواد الذي قد تدخل في العديد من العلوم الأخرى المختلفة.

ما هي  الأعداد الحقيقية

تعتبر الأرقام هي حجر الأساس الذي تعتمد عليه مادة الرياضيات، حيث وأنه هناك تتواجد لديها الأعداد الحقيقة والصحيحة والسالبة والموجبة، والعديد من أنواع الأرقام المختلفة.

• من الممكن تحديد الأعداد الحقيقية في الرياضيات كمجموعة من الأرقام، فهذه الأعداد لا نهائية ويمكننا تمثيلها على خط مستقيم، وهذا الخط يسمى خط الأعداد.
• وهي تشمل تلك الأعداد لمجموعات الأعداد، وهي مجموعات الأعداد المنطقية ومجموعة أخرى تعرف بمجموعة الأعداد غير المنطقية، وكذلك مجموعة الأعداد الطبيعية وأخيراً مجموعة الأعداد الصحيحة.

أصل الأعداد الحقيقية

من المتعارف عليه بأن علم الرياضيات ليس من العلوم الحديثة بل أنه قد كان يتواجد في العصور القديمة، وقد اهتم به من قبل السامريون والبابليون والعديد من الشعوب السابقة، نعلم أيضًا أن هناك كميات وأطوال وكميات يصعب قياسها باستخدام أعداد صحيحة أو كسرية، ولكن ناتج قياسها هو عدد غير كسري، ومن الممكن تصور هذه الأرقام كأرقام لا نهائية، والتي يمكن تمثيلها على خط الأعداد، ومن هنا جاءت فكرة ظهور التحضير.

أهم خصائص الأعداد الحقيقية

قد تتواجد العديد من الخصائص المختلفة الذي قد تعتبر هي من الأسس الذي يعتمد عليها الرياضيات، كما وأنه من خصائص الأعداد الحقيقية ما يلي:-

• إذا كانت أ، ب، ج عبارة عن أرقام تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية، إذن[١] (أ + ب) يساوي عددًا حقيقيًا، و (أ – ب) يساوي عددًا حقيقيًا، على سبيل المثال (3 = 1 + 2) ؛ بما أن الرقم 3 هو رقم حقيقي وكذلك (1 = 1-2) وهو أيضًا رقم حقيقي. (أ ب) يساوي عددًا حقيقيًا أيضًا (أ / ب) ؛ حيث b لا تساوي الصفر، على سبيل المثال (2 = 2 × 1).
• الصفر هو رقم حقيقي. حيث يتم تمثيل العنصر المحايد في عملية الجمع، على سبيل المثال (5 = 0 + 5). 1 هو رقم حقيقي ؛ حيث يمثل الرقم 1 عنصرًا محايدًا في عملية الضرب، على سبيل المثال (5 = 1 × 5). المعكوس الجمعي لأي رقم حقيقي هو معكوسه، على سبيل المثال المعكوس الجمعي لـ (أ) هو (-a). المعكوس الضربي لأي عدد حقيقي لا يساوي صفرًا هو مقلوبه. على سبيل المثال، المعكوس الضربي لـ (أ) هو (1 / أ).
• تتضمن الأعداد الحقيقية صفرًا، وأي عدد موجب أو سالب، وكل شيء مكتوب كبسط ومقام، بالإضافة إلى الأرقام التي لم تتم كتابتها ككسور لأرقام غير منطقية، على سبيل المثال رمز باي.

أمثلة توضح كيفية تصنيف الأعداد الحقيقية

هناك العديد من الأمثلة الذي سوف نعرضها لكم، حيث أنه من خلالها سيتم توضيح كيفية يمكن تصنيف الأعداد الحقيقية:-

مثال1:-

• صنف الأرقام التالية إلى أعداد منطقية أو غير منطقية، واشرح السبب.[٢] رقم (… ..0.88888) الحل الرقم (… ..0.88888) هو كسر عشري متكرر ولانهائي ؛ حيث يمكن كتابتها كـ a / b ؛ عندما تكون a، b أعداد صحيحة، و b لا تساوي صفرًا، لذلك فهي تعتبر عددًا نسبيًا. الرقم (…… ..0.151151115111115) الحل الرقم (… …. 151151115111115) هو كسر عشري غير منتهي لا يتكرر في نمط معين ؛ حيث لا يمكن كتابتها كـ (أ / ب) ؛ حيث (أ، ب) أعداد صحيحة و ب لا تساوي الصفر، لذلك فهي تعتبر عددًا غير نسبي.
• الجذر التربيعي للعدد 2. الحل الجذر التربيعي للعدد 2 هو جذر تربيعي غير كامل ؛ حيث لا يمكن كتابتها كـ (أ / ب) ؛ عندما تكون a و b أعدادًا صحيحة و b لا تساوي صفرًا، فإنها تعتبر عددًا غير نسبي.

المثال 2:-

• صنف الأعداد التالية إلى أعداد طبيعية وصحيحة وعقلانية وغير منطقية وحقيقية. (1، 0.52، -15، 1/2، الجذر التربيعي لـ 23).
• لها خاصيتان رئيسيتان، كونها حقل كامل ومرتب، في حين أن خصائصها كمجموعة عددية هي
• o الأعداد الطبيعية “i” (بالإنجليزية Natural Number) هي مجموعة الأرقام الواقعة بين الصفر و inla، النهاية الموجبة، أي أنها تتضمن مجموعة الأعداد الموجبة والصفر. الرقم الموجب هو رقم له علامة موجبة (+) أو لا توجد علامة على اليمين.
• {0، 1، 2، 3، ……}
• o الأعداد الصحيحة “y” (بالإنجليزية Integer Number) هي مجموعة الأعداد الواقعة بين اللانهاية السالبة واللانهاية الموجبة حتى الصفر. أي أنها تتضمن مجموعة الأعداد الموجبة والسالبة بالإضافة إلى الصفر. الرقم السالب هو رقم على يمين العلامة السالبة (-).
• {…….، – 3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، ……}
• o الأعداد النسبية “n” هي مجموعة كل الأعداد التي يمكن كتابتها كبسط ومقام، مع ضرورة ألا تكون قيمة المقام مساوية للصفر.
• { أب . أ، ب هي الأعداد التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة، ب ≠ صفر}.

مثال3:-

• {1/4، -5 / 10، ….}.
• الأعداد غير النسبية هي مجموعة الأعداد اللانهائية غير المتكررة التي ليس لها جذور في شكل عدد طبيعي، مثل الجذر التكعيبي للعدد 3.
• تتضمن مجموعة الأعداد الحقيقية أيضًا مجموعة الأرقام التي لا يمكن كتابتها كأرقام غير منطقية مثل pi (π) ورقم أويلر والنسبة الذهبية.

شاهد أيضا: ألغاز رياضيات مع الحل – الغاز للعباقرة مع الحل مسلية جداً

ميزات الأعداد الحقيقية

مميزات الأعداد الحقيقة التي تتواجد في علم الرياضيات عديدة ومختلفة، حيث أن الرياضيات من المواد الممتعة في الدراسة وتختلف عن المواد الأخرى:-

1. الأعداد الطبيعية (ن) هي الأعداد {. . . . . 1،2،3،4،5}، كل رقم بين الصفر واللانهاية من الأعداد الموجبة هو عدد طبيعي.
2. الأعداد الصحيحة (W) هي الأعداد الطبيعية + صفر، لذا {…… 0،1،2،3،4،5}
3. الأعداد الصحيحة (Z) هي الأعداد الصحيحة + الأعداد السالبة، أي أنها تلك الأعداد التي تقع بين اللانهاية الموجبة واللانهاية السالبة بصفر، ويمكن كتابة هذه الأعداد في صورة كسر مقامه 1.
4. الأعداد المنطقية (س) وتتميز بعدة خصائص مثل احتوائها على مكعبات كاملة وجذور تربيعية وأرقام مختلطة، ويتكون كل رقم من (البسط والمقام) بشرط ألا يكون المقام مساويًا للصفر ؛ لأنه في حالة القسمة على الصفر، ستكون النتيجة قيمة غير محددة.
5. الأعداد غير النسبية (I) هي أرقام ليست منتهية وليست دورية، وهي الأرقام التي تقع تحت الجذر إذا لم نتمكن من جذرها، وهي أرقام لم تكتب في صورة كسر أو العكس، و أمثلة منها هي الكسور العشرية اللانهائية، وجذور المربعات غير الكاملة.

العلاقات بين مجموعات الأرقام

يحدد علماء الرياضيات العلاقات بين المجموعات المختلفة من الأعداد الطبيعية والحقيقية والصحيحة والعقلانية وغير المنطقية على النحو التالي:-

• مجموعة الأعداد الطبيعية هي جزء من مجموعة الأعداد الصحيحة.
• ومجموعة الأعداد الصحيحة جزء من مجموعة الأعداد النسبية.
• مجموعة الأعداد النسبية جزء من مجموعة الأعداد الحقيقية.

خط الأعداد الحقيقية

قد تتواجد العديد من الأرقام المتواجدة في علم الرياضيات، كما وأنها قد تختلف المميزات التي تتميز بها كل الأعداد العديدة في علم الرياضيات:-

• أو ما يسمى بالخط المستقيم للأرقام الحقيقية والذي اخترعه عالم الرياضيات الإنجليزي جون واليس، ويشار إليه بهذا الرمز X’OX.
• وهو خط أفقي يشمل جميع الأرقام الموجبة والسالبة والصفر، ويحتوي هذا الخط على نقاط تقع على مسافات متساوية، وكل نقطة تمثل رقمًا حقيقيًا محددًا.
• كل نهاية لخط الأعداد الحقيقي، سواء كانت من حيث الأعداد الموجبة أو من حيث الأعداد السالبة، تحتوي على علامة اللانهاية، وهي علامة على عدم وجود نهاية للأرقام، ويشار إليها بالرمز ∞.

أهمية الأعداد الحقيقية

أهمية الأرقام بشكل عام في حياتنا عديدة، حيث أنها قد تتم استخدامها في العديد من المجالات المتنوعة في حياتنا اليومية، الا أن الأعداد الحقيقية أهميتها تبع في:-

• لا تُستخدم الأعداد الحقيقية في الرياضيات فحسب، بل تُستخدم أيضًا في الفيزياء.
• أنتجت العديد من النظريات الرياضية التي تعتمد على الأعداد الحقيقية العديد من المفاهيم الفيزيائية مثل التسارع والسرعة اللحظية.
• تستخدم بعض حسابات الكمبيوتر بعض الأرقام الحقيقية وليس كلها.

وفي الختام، نكون قد توصلنا الى نهاية مقالنا لهاد اليوم والذي قد تطرقنا بالحديث به عن الأعداد الحقيقية الذي تتواجد في علم الرياضيات وخصائصها وأهميتها.